Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
nên \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
Lại có \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(1\right)\)
Xét \(n\left(n-1\right)\)là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\left(2\right)\)
Mà \(\left(2;5\right)=1\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow n^5-n⋮2.5\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)
\(\Leftrightarrow n\)và \(n^5\)có chữ số tận cùng giống nhau
Vậy ,...
Lấy \(n^5-n\)để chứng minh hiệu của nó chia hết cho 10
NÓ mà chia hết cho 10 thì chứng tỏ chữ số tận cùng của \(n^5;n\) giống nhau thì \(n^5-n\)có chữ số tận cùng là 0 chia hết cho 10
