Question

chứng minh \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức côsi lần lượt ta có : 

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)

Nhân vế theo vế ta được : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=9\)(đpcm)

Answer 2

Áp dụng bđt cosi ta có :

(x+y+z).(1/x+1/y+1/z)

>= \(3\sqrt[3]{xyz}\). \(3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)=  \(9\sqrt[3]{\frac{xyz.1}{xyz}}\) = 9

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

Tk mk nha