Question

Chứng minh :

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Answer 1

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ( Bunhiacopxki )

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\)

Answer 2

thanks bạn <3

Answer 3

Giả sử \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\ge\left(ax\right)^2+2abxy+\left(by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\ge2abxy\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-2abxy+\left(bx\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)(đpcm)

Answer 4

"..." Nhiều ng t-k đúng và cx nhiều ng t-k sai vại