Question

Chứng minh : 

    

\(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{50}\)<   \(\frac{1}{4}\)  

 

 

các bn lm giúp mk nhé mk tick đúng cho nhé  >.<

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được :

\(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+.....+\left(\frac{1}{5}\right)^{50}\ge50\sqrt[50]{\frac{1}{5}.\left(\frac{1}{5}\right)^2.......\left(\frac{1}{5}\right)^{50}}\left(1\right)\)

\(=50\sqrt[50]{\frac{1}{......}}\)

Thấy điều hiển nhiên : \(\frac{1}{5}.\left(\frac{1}{5}\right)^2.....\left(\frac{1}{5}\right)^{50}< \frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{.....}< \frac{1}{4}\Rightarrow50\sqrt[50]{\frac{1}{......}}< 4\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 => \(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+....+\left(\frac{1}{5}\right)^5< \frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)