Question

Chứng minh ĐL Winson :

Nếu \(p\in P\Rightarrow\left(p-1\right)!+1\) chia hết cho \(p.\)

Answer 1

Sử dụng định lý Newton nha

Nếu P(x) là một đa thức bậc n và x1, x2, …, xn, xn+1 là n+1 số khác nhau thì công thức nội suy Newton là công thức sau đây

P(x)=α1+α2(x−x1)+α3(x−x1)(x−x2)+⋯+αn+1(x−x1)(x−x2)…(x−xn)

Các hệ số trong công thức nội suy Newton được xác định như sau. Muốn xác định hệ số α1, chúng ta thay x=x1 vào công thức. Muốn xác định hệ số α2, chúng ta thay x=x2. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng αn+1 sẽ được xác định nếu chúng ta thay x=xn+1.

Đa thức mà chúng ta sẽ dùng là đa thức P(x)=xp−1−1 có bậc là p−1. Chúng ta sẽ sử dụng x1=1, x2=2, …, xp=p. Công thức nội suy Newton sẽ trở thành như sau

P(x)=xp−1−1=α1+α2(x−1)+α3(x−1)(x−2)+⋯+αp(x−1)(x−2)…(x−(p−1))

Rõ ràng các số αi là các số hữu tỷ. Chúng ta sẽ chứng minh hai điều sau:
 

αp=1với mọi i=1,2,…,p−1,

αi=Q 0(modp).

Chứng minh αp=1

Để chứng minh αp=1, chúng ta so sánh hệ số của bậc p−1 trong công thức nội suy Newton

P(x)=xp−1−1=α1+α2(x−1)+α3(x−1)(x−2)+⋯+αp(x−1)(x−2)…(x−(p−1))

Chúng ta thấy rằng ở vế bên trái, hệ số của xp−1 chính là 1, còn ở vế bên phải hệ số của xp−1 chính là αp. Do đó αp=1.

Chứng minh αi=Q 0(modp) cho các trường hợp i=1,2,…,p−1

Từ công thức nội suy

P(x)=xp−1−1=α1+α2(x−1)+α3(x−1)(x−2)+⋯+αp(x−1)(x−2)…(x−(p−1))

Thay x=1, chúng ta có

α1=0

Thay x=2, chúng ta có

P(2)=α2.

Theo Định lý nhỏ Fermat thì P(2)=0(modp), do đó

α2=Q 0(modp)

Thay x=3, chúng ta có

P(3)=α2(3−1)+α3(3−1)(3−2).

Theo Định lý nhỏ Fermat thì P(3)=0(modp), chúng ta lại có α2=Q 0(modp), do đó

α3(3−1)(3−2)=Q 0(modp).

Từ đó suy ra

α3=Q 0(modp)

Tương tự, thay x=i, chúng ta có

P(i)=α2(i−1)+α3(i−1)(i−2)+⋯+αi (i−1)!

Theo Định lý nhỏ Fermat thì P(i)=0(modp), chúng ta lại có

α2=Q α3=Q ⋯=Q αi−1=Q 0(modp),

do đó

αi (i−1)!=Q 0(modp),

từ đó suy ra

αi=Q 0(modp).

Tóm lại, chúng ta chứng minh được
 

αp=1với mọi i=1,2,…,p−1,

αi=Q 0(modp).

Do đó từ công thức Newton

P(x)=xp−1−1=α1+α2(x−1)+α3(x−1)(x−2)+⋯+αp(x−1)(x−2)…(x−(p−1))

chúng ta suy ra rằng với mọi số hữu tỷ x thì

P(x)=xp−1−1=Q (x−1)(x−2)…(x−(p−1))(modp)

Thay x=0, chúng ta có

−1=Q (−1)(−2)…(−(p−1))(modp).

Tức là

(−1)p−1(p−1)!=Q−1(modp).

Nhưng cả hai vế là số nguyên, cho nên

(−1)p−1(p−1)!=−1(modp).

Từ đó chúng ta có Định lý Wilson

(p−1)!=−1(modp).