Có trong nâng cao phát triển toán 8 tập 2 nha bạn!!
Ngại viết vì khá là dài :((
* Định lí Menelaus: Cho tam giác ABC, một đường thẳng d không đi qua các đỉnh tam giác, cắt các đường thẳng BC,AC,AB lần lượt tại A', B', C'. Khi đó: \(\frac{B'A}{B'C}.\frac{A'C}{A'B}.\frac{C'B}{C'A}=1\)
Cm: Kẻ AH,BK,CN cùng vuông góc với đường thẳng d. Suy ra AH// BK// CN
Theo định lý Ta-lét, ta có: \(\frac{B'A}{B'C}=\frac{AH}{CN};\frac{A'C}{A'B}=\frac{CN}{BK};\frac{C'B}{C'A}=\frac{BK}{AH}\)
Do đó: \(\frac{B'A}{B'C}.\frac{A'C}{A'B}.\frac{C'B}{C'A}=\frac{AH}{CN}.\frac{CN}{BK}.\frac{BK}{AH}=1\)(ĐPCM)
* Định lý Ceva: Cho tam giác ABC. Các điểm A',B',C' theo thứ tự thuộc các cạnh BC,AC,AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy ở O. Khi đó: \(\frac{B'A}{B'C}.\frac{A'C}{A'B}.\frac{C'B}{C'A}=1\)
Cm: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt CC', BB' theo thứ tự tại M,N
Theo định lý Ta-let, ta có:
\(\frac{B'A}{B'C}=\frac{AN}{BC}\)(1)
\(\frac{C'B}{C'A}=\frac{BC}{AM}\)(2)
Cũng theo ta-let, ta có: \(\frac{CA'}{MA}=\frac{OA'}{OA}=\frac{A'B}{AN}\)nên \(\frac{CA'}{A'B}=\frac{MA}{AN}\)(3)
Nhân các đẳng thức (1), (2), (3) theo từng vế, ta được:
\(\frac{B'A}{B'C}.\frac{A'C}{A'B}.\frac{C'B}{C'A}=\frac{AN}{BC}.\frac{MA}{AN}.\frac{BC}{AM}=1\)(ĐPCM)
