Question

chứng minh công thức sau: Với mọi \(x\inℕ^∗\)ta luôn có : \(\frac{2}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\)

Answer 1

Để mình đưa công thức tổng quát luôn khỏi mất công bạn đăng câu hỏi cho mệt =.= 

Với mọi \(a,n\inℕ^∗\) 

Cần chứng minh : 

\(\frac{n}{a\left(a+n\right)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}\)

Ta có : 

\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{a+n}{a\left(a+n\right)}-\frac{a}{a\left(a+n\right)}=\frac{a+n-a}{a\left(a+n\right)}=\frac{n}{a\left(a+n\right)}\) ( đpcm ) 

Vậy với mọi \(a,n\inℕ^∗\) thì \(\frac{n}{a\left(a+n\right)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Answer 2

Ta có : 

\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x\left(x+2\right)}-\frac{x}{x\left(x+2\right)}=\frac{x+2-x}{x\left(x+2\right)}=\frac{2}{x\left(x+2\right)}\) ( đpcm ) 

Vậy với mọi \(x\inℕ^∗\) ta luôn có \(\frac{2}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Answer 3

Mình mới nghĩ ra một cách chứng minh khác nàk bạn tham khảo nhé :) 

Ta có công thức tổng quát : 

\(\frac{n}{a\left(a+n\right)}=\frac{a+n-a}{a\left(a+n\right)}=\frac{a+n}{a\left(a+n\right)}-\frac{a}{a\left(a+n\right)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}\) ( từ tích thành hiệu ) 

Tương tự như vậy đối với : 

\(\frac{2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x+2-x}{x\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{x\left(x+2\right)}-\frac{x}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\) ( từ tích thành hiệu )

Chúc bạn học tốt ~