Question

Chúng minh : Cới mọi số tự nhiên n, ta luôn có 15n + 1 và 20n + 3 nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

gọi sct là d

4.(15n+1)-3(20n+3)chia hết cho d

(60n+9)-(60n+4)chia hết d

d là ước chung của 2 số

d=1

vậy hai số NTCN(ĐPCM)

Answer 2

Gọi d là ƯCLN ( 15n + 1 ; 20n + 3 ).

Theo đề ta có : Vì 15n + 1 và 20n + 3 phải là số nguyên tố cùng nhau nên suy ra :

                        ƯCLN ( 15n + 1 ; 20n + 3 ) = d  

Vậy 15n + 1 chia hết cho d ; 20n + 3 chia hết cho d => 15n + 1 + 20n + 3 chia hết cho d.

15n + 1 + 20n + 3 = 5n . 3 + 1 + 5n . 4 + 3

                           = 5n . ( 3 + 1 + 4 + 3 )

                           =  5n . 11 chia hết cho d

=> 5n chia hết cho d.

=> d = 1

Vì ƯCLN ( 15n + 1 ; 20n + 3 ) = 1 nên với mọi số tự nhiên n ; 15n + 1 và 20n + 3 là số nguyên tố.