Question

Chứng minh các số sau đây là số nguyên tố cùng nhau:

 a) Hai số lẻ liên tiếp

b) 2n + 5 và 3n + 7 

c) 4n + 3 và 5n + 1

d ) 3n + 1 và 4n + 1 

e ) n+ 1 và 3n + 4

Answer 1

a) Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2n+ 1; 2n+ 3.

Gọi( 2n+ 1; 2n+ 3)= d.

=> 2n+ 1\(⋮\) d; 2n+ 3\(⋮\) d.

=>( 2n+ 3)-( 2n+ 1)\(⋮\) d.

=> 2n+ 3- 2n- 1\(⋮\) d.

=> 2\(⋮\) d.

=> d\(\in\){ 1; 2}.

Mà 2n+ 1 không\(⋮\) 2.

=> d= 1.

=>( 2n+ 1; 2n+ 3)= 1.

Vậy 2 số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi( 2n+ 5; 3n+ 7)= d.

=> 2n+ 5\(⋮\) d; 3n+ 7\(⋮\) d.

Ta có: 2n+ 5\(⋮\) d.

=> 3( 2n+ 5)\(⋮\) d.

=> 6n+ 15\(⋮\) d( 1).

3n+ 7\(⋮\) d.

=> 2( 3n+ 7)\(⋮\) d.

6n+ 14\(⋮\) d( 2).

Từ( 1) và( 2), ta có:

( 6n+ 15)-( 6n+ 14)\(⋮\) d.

=> 6n+ 15- 6n- 14\(⋮\) d.

=> 1\(⋮\) d.

=> d= 1.

=>( 2n+ 5; 3n+ 7)= 1.

Vậy 2n+ 5 và 3n+ 7 nguyên tố cùng nhau.