Xét A=2n+1/3n+1
Gọi d là ƯCLN của 2n+1 và 3n+1, ta có
2n+1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)3(2n+1) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+3 chia hết cho d (1)
3n+1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)2(3n+1) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+2 chia hết cho d (2)
Lấy (1) - (2), ta có:
6n+3-(6n+2) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+3-6n-2 chia hết cho d \(\Rightarrow\)(6n-6n)+(3-2) chia hết cho d
\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)d=1
Vì ƯCLN(2n+1;3n+1)=1 nên 2n+1 và 3n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó A=2n+1/3n+1 là phân số tối giản (đpcm)
Xét B=12+1/30+1
Cách giải tương tự như trên, ta có 5(12n+1)-2(30n+2) chia hết cho d
\(\Rightarrow\)60n+5-(60n+4) chia hết cho d
\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d
\(\Rightarrow\)d=1
Suy ra B=12n+1/30n+2 là phân số tối giản (đpcm)
Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) (d thuộc N*)
=> 2n + 1 chia hết cho d; 3n + 2 chia hết cho d
=> 3.(2n + 1) chia hết cho d; 2.(3n + 2) chia hết cho d
=> 6n + 3 chia hết cho d; 6n + 4 chia hết cho d
=> (6n + 4) - (6n + 3) chia hết cho d
=> 6n + 4 - 6n - 3 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc N* => d = 1
=> ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) = 1
Chứng tỏ phân số 2n + 1/3n + 2 tối giản
b,
Gọi ƯCLN (12n+1,30n+2) là d
⇒(12n+1)⋮d
(30n+2)⋮d
⇒5(12n+1)−2(30n+2)⋮d
⇒60n+5−60n−4⋮d
⇒1⋮d⇔d=1
Vậy ƯCLN (12n+1,30n+2)=1⇔12n+1/30n+2 là p/s tối giản