a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+1\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\)
\(\left(b+1\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+1\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có: \(a^2+b^2+a^2+1+b^2+1\ge2ab+2a+2b\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)(ĐPCM)
Chứng minh bất đẳng thức
\(1,\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(2,a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(3,\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(4,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{ab}\left(a,b>0\right)\)
\(5, 3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a,\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
b, \(ab+bc+ca\le0\)khi a+b+c=0
Chứng minh bất đẳng thức
a)\(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)
b)\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\)
B) \(3\left(A^2+B^2+C^2\right)\ge\left(A+B+C\right)^2\ge3\left(AB+BC+CA\right)\)
cho các số a,b,c,d tùy ý và \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)chung minh :1)\(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\);2)\(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\).dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào
Chứng minh bất đẳng thức: \(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)\ge\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\) Với a, b, c > 0
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. \(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{c+d}+\frac{a+b}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\frac{12}{a+b+c+d}\)
2. \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{-a+b+c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{a-b+c}\ge4.\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{^{a^2+b^2+c^2}}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
