Toán bất đẳng thức khó làm mình làm khôg nói
Hình như bạn thiếu điều \(a\ge1\)
Chứng minh BĐT sau:
\(a-2\sqrt{a}\ge\sqrt{\frac{1}{a}}-\frac{1}{a}\)
Chứng minh BĐT: \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}+\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a+3}}=\frac{3}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\) (với a \(\ge\)0)
1) cho a;b;c ko âm .chứng minh \(\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
2) cho a;;b;c dương và abc=1. chứng minh \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
a,b,c>0
a+b+c=3
chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a}+1}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Cho a+b+c=abc. Chứng minh:
\(\frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{b\sqrt{c^2+1}}+\frac{a}{c\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 : cho các số không âm a,b,c . Chứng minh :
a, \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
c. \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
d, \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(Σ_{cyc}\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\)
P/tích: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{\text{bậc 2}}{\text{bậc 1}}=\text{bậc 1}\). Tương tự cho 2 cái kia
\(\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\) có \(a^2+b^2+c^2=\text{bậc 2}\Rightarrow\sqrt{3\left(Σ_{cyc}a^2\right)}\) có bậc là \(\frac{1}{2}\cdot2=1\)
Hay BĐT thuần nhất, chuẩn hóa \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
BĐT cần chứng minh \(Σ_{cyc}\frac{a^2}{3-a}\ge\frac{3}{2}\) UCT tiếp nhé :v
