\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(\left(AX+BY\right)^2\le\left(A^2+B^2\right)\left(X^2+Y^2\right)\)
B) \(\left(AX+BY+CZ\right)^2\le\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(X^2+Y^2+Z^2\right)\)
Chứng minh các bất đẳng thức
a, \(y^8-y^7+y^2-y+1>0\)
b, \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
c, \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
d, \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)với \(a,b\ge0\)
CM CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ;
\(\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(X^2+Y^2+Z^2\right)=\left(AX+BY+CZ\right)^2+\left(AY-BX\right)^2+\left(AZ-CX\right)^2+\left(BZ-CY\right)^2\)
Chứng minh đẳng thức sau :
a) \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
b)\(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=2b\left(a+b\right)\)
c)\(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2=ab\)
Cm\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
CM \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Chứng minh rằng : \(\left(ax+by\right)^2\ge\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Với mọi a, b, x, y
Chứng minh rằng \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Áp dụng: Cho \(3x+4y=5\), Chứng minh rằng \(x^2+y^2\ge1\)
Cho ax+by+cz=0 và a+b+c =1/2018 Chứng minh rằng \(\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2}\) =2018
