Question

Chứng minh bất đẳng thức : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\left(1\right)\)

Cmt ta có : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\left(2\right)\)

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\left(3\right)\)

Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta được :

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!