Question

Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

\(\left(a^2-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow1.\left(a^4+1\right)\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{a^2}{a^4+1}\) (đpcm)

Answer 2

\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)                                     (1)

Mà theo BĐT Cauchy có

\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

Suy ra BĐT (1) luôn đúng

suy ra đề bài luôn đúng