Question

Chứng minh bất đẳng thức : 

a² + b² + 4 >= ab + 2( a + b )

Answer 1

a² + b² + 4 ≥ ab + 2( a + b )

Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức

<=> 2( a² + b² + 4 ) ≥ 2[ ab + 2( a + b ) ] 

<=> 2a² + 2b² + 8 ≥ 2ab + 4( a + b ) 

<=> 2a² + 2b² + 8 ≥ 2ab + 4a + 4b

<=> 2a² + 2b² + 8 - 2ab - 4a - 4b ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 4a + 4 ) + ( b² - 4b + 4 ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( a - 2 )² + ( b - 2 )² ≥ 0 ( đúng )

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-2=0\\b-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)

Answer 2

\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(\forall x,y,z\in R\right)\)

=> đpcm

Answer 3

\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)  ( 1 ) 

\(2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2\left(a+b\right)\right)\)

\(2a^2+2b^2+8\ge2ab+4\left(a+b\right)\) 

\(2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\) 

\(a^2-2ab+b^2+a^2-4a+4+b^2-4b+4\ge0\) 

\(\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\left(llđ\right)\) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng ( đpcm )