a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2( a + b )
Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức
<=> 2( a2 + b2 + 4 ) ≥ 2[ ab + 2( a + b ) ]
<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4( a + b )
<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4a + 4b
<=> 2a2 + 2b2 + 8 - 2ab - 4a - 4b ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 4a + 4 ) + ( b2 - 4b + 4 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( a - 2 )2 + ( b - 2 )2 ≥ 0 ( đúng )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-2=0\\b-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)
\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(\forall x,y,z\in R\right)\)
=> đpcm
\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\) ( 1 )
\(2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2\left(a+b\right)\right)\)
\(2a^2+2b^2+8\ge2ab+4\left(a+b\right)\)
\(2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-4a+4+b^2-4b+4\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\left(llđ\right)\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng ( đpcm )