\(a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)
\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)
Chứng minh bất đẳng thức: \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\) Với mọi a,b
Chứng minh bất đẳng thức;
\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}>2\)
Cho 3 số thực \(a,b,c\ge0\). Chứng minh bất đẳng thức sau đây:
\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}}\)
Chứng minh rằng với các số a,b thỏa mãn \(\left|a\right|\le1,\left|b\right|\le1\) ta có bất đẳng thức \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)
C/minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\) với mọi a.
Chứng minh đẳng thức \(\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}-\frac{5}{a+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}\) với \(a\ge0;a\ne4\)
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
Giúp mình với mọi người!!
1. Cho a,b > 1. Tìm GTNN của \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\) ( đừng dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwart nha)
2. Tìm GTLN của biểu thức sau: \(B=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh bất đẳng thức; \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
