Question

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :  1 + 2 + 3 + ... + n = \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) ( n thuộc N*)

Answer 1

Kí hiệu đăng thức cần chứng minh là (*)

+) Với n = 1 thì 1 = \(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) => (*) đúng

+) Giả sử (*) đúng với n = k , tức là: 1 + 2 + 3 + ....+ k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

Ta chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, tức là: 1 + 2 + 3+ ...+ k + (k+1) = \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

Thật vậy, 1 + 2 + 3 + ....+ k + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

=> (*) đúng với n = k+ 1

Vậy.....

 

Answer 2

1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n - 1 + 2) + ... (n:2 cặp)

= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) (n:2 cặp)

= (n + 1).n : 2 (đpcm)

Answer 3

*Xét n=2=>\(1+...+n=1+2=3=\frac{6}{2}=\frac{2.3}{2}=\frac{2.\left(2+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

*Xét n=3=>\(1+...+n=1+2+3=6=\frac{12}{2}=\frac{3.4}{2}=\frac{3.\left(3+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

Giả sử mệnh đề luôn đúng với n=k, ta cần chứng minh mệnh đề luôn đúng với n=k+1

Ta có: \(1+...+n=1+...+k=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+k+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\frac{2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)+2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

=>Thoả mãn

=>Phép quy nạp đã được chứng minh

=>ĐPCM

Answer 4

Bạn loan ở dưới dùng quy nạp mạnh rất hay,ở đây bạn còn có thể dùng quy nạp kép hoặc quy nạp lùi,quy nạp bước để chứng minh nhé