Question

chứng minh : \(abc\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\) với mọi số nguyên a,b,c

 

Answer 1

Do a;b;c nguyên nên \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;6\left(mod7\right)\)

Nếu lập phương của 1 số trong 3 số trên đồng dư với 0 theo Mod 7 thì số đó \(⋮7\)\(\Rightarrow abc⋮7\Rightarrowđpcm\)

Nếu không tồn tại lập phương của  số nào \(\equiv0\left(mod7\right)\) thì \(a^3;b^3;c^3\) chia 7 dư 1 hoặc 6

Do đó trong 3 số \(a^3;b^3;c^3\) có ít nhất 2 số chia 7 cùng số dư (nguyên lý Dirichle) nên hiệu của nó \(⋮7\)

\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\Rightarrowđpcm\)