Question

Chứng minh: \(7^{7^{7^7}}-7^7⋮10\)

Answer 1

Lời giải:

Vì $7^7$ lẻ nên đặt $7^7=2k+1$ với $k$ tự nhiên
\(\Rightarrow 7^{{7^7}^7}=7^{7^{2k+1}}\)

\(7^2\equiv 1\pmod 4\Rightarrow 7^{2k+1}\equiv 7\equiv 3\pmod 4\)

\(\Rightarrow 7^{{7^7}^7}=7^{7^{2k+1}}=7^{4t+3}\)

Có: $7^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 7^{4t+3}\equiv 7^3\pmod {10}$

hay \(7^{{7^7}^7}\equiv 7^3\pmod {10}(1)\)

Mặt khác:

$7^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 7^7\equiv 7^3\pmod {10}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow$ \(7^{{7^7}^7}-7^7\equiv 7^3-7^3\equiv 0\pmod {10}\) (đpcm)