Question

Chứng minh 5n + 4 và 2n + 5 là số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Đặt \(d=ƯCLN\left(5n+4;2n+5\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(5n+4\right)⋮d\\5\left(2n+5\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[5\left(2n+5\right)-2\left(5n+4\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(10n+25-10n-8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow17⋮d\)

\(\Rightarrow d=17\) hoặc \(d=1\)

Mà \(2n+5\) là số lẻ nên \(d\ne17\)

Vậy \(d=1\) hay mọi số tự nhiên n thì các số \(5n+4;2n+5\) là số nguyên tố cùng nhau.