Question

Chứng minh \(3^{2^{4n+1}}\) +2 luôn là hợp số với mọi SND n

Giups mk với mk đg cần gấp

Answer 1

\(2^{4n+1}=2.2^{4n}=2.16^n\)

Do \(16\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow2.16^n\equiv2\left(mod5\right)\)

Hay \(2^{4n+1}\) luôn chia 5 dư 2

Do đó ta đặt \(2^{4n+1}=5k+2\)

\(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}+2=3^{5k+2}+2=9.3^{5k}+2=9.243^k+2\)

Do \(243\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow9.243^k\equiv9\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow9.243^k_{ }+2\equiv0\left(mod11\right)\)

Hay \(3^{2^{4n+1}}+2\) luôn chia hết 11 với mọi n nguyên dương. Hiển nhiên \(3^{2^{4n+1}}+2>11\) khi \(n>0\) nên nó là hợp số