Gọi ƯCLN của n + 1; 2n + 3 là a
Ta có:
n + 1 và 2n + 3 chia hết cho a.
=> 2n + 2 và 2n + 3 chia hết cho a
=> ƯCLN(2n + 2, 2n + 3) = 1
=> 1 = a => a = 1
=> Phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản
Gọi d = ƯCLN ( n+1;2n+3 ) (d thuộc N*)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)( 2n + 3 ) - 2( n+1) \(⋮\)d
\(\Rightarrow\) 2n +3 - 2n - 2 \(⋮\)d
\(\Rightarrow\)1 \(⋮\)d
\(\Rightarrow\)d \(\in\)Ư (1)={1;-1}
Mà d thuộc N*
\(\Rightarrow\)d = 1
\(\Rightarrow\)ƯCLN (2n+3;n+1)=1
\(\Rightarrow\)n+1/2n+3 là phân số tối giản (ĐPCM)