Question

Chứng minh:     1/3+1/3^2+1/3^3+.......+1/3^99 <1/2

Answer 1

S=1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^99

=>3S=1+1/3+1/3^2+1/3^3+....+1/3^98

=>3S-S=(1+1/3+1/3^2+...1/3^98)-(1/3+1/3^2+...+1/3^99)

=>2S=1-1/3^99

=>2S=(3^99-1)/3^99

=>S=(3^99-1)/2.3^99

=>S=1/2-1/2.3^99.

Vì 1/2-1/2.3^99<1/2

=>S<1/2 (đpcm)

Answer 2

Ta có:1/(3^n)+1/(3^(n+1))=2/(3^(n+1)

Áp dụng ta có:1-1/3=2/3 

1/3-1/(3^2)=2/(3^2) 

1/(3^2)-1/(3^3)=2/(3^3) 

1/(3^98)-1/(3^99)=2/(3^99). 

Cộng từng vế các phép tính với nhau ta có:1-1/(3^99)=2M. 

Mà 1-1/(3^99)<1 nên 2M<1 nên M<1/2(điều phải chứng minh)