Question

chứng minh \(11^3\) + \(12^3\) + \(13^3\) + ...+\(1945^3\)  ⋮ 6

Answer 1

Đặt \(A=11^3+12^3+13^3+...+1945^3\)

\(B=11+12+13+...+1945\)

Với mọi số tự nhiên n ta có:

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6

Do đó:

\(A-B=\left(11^3-11\right)+\left(12^3-12\right)+...+\left(1945^3-1945\right)\) chia hết cho 6 (1)

Mặt khác:

\(B=\dfrac{\left(11+1945\right).1935}{2}=978.1935\)

Do `978` chia hết cho 6 nên B chia hết cho 6  (2)

(1);(2) suy ra A chia hết cho 6