Question

\(Cho\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{cases}}\)

CMR\(A=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}\)

Answer 1

  Đặt x = 1/a ; y = 1/b, z = 1/c với x,y,z > 0 
đk <=> 1/x + 1/y + 1/z = 1/(xyz) 
<=> xy + yz + zx = 1 
A = √[yz/(1+x²)] + √[zx/(1+y²)] + √[xy/(1+z²)] 
Ta có: 
1 + x² = x² + xy + yz + zx = (x+z)(x+y) 
=> √[yz/(1+x²)] = √[y/(x+y)] . √[z/(x+z)] 
≤ 1/2 . [y/(x+y) + z/(x+z)] (1) 
(áp dụng bđt Cosi: √m .√n ≤ 1/2 . (m+n)) 
Tương tự: 
√[xz/(1+y²)] = √[x/(x+y)] . √[z/(y+z)] ≤ 1/2 . [x/(x+y) + z/(y+z)] (2) 
√[xy/(1+z²)] = √[y/(z+y)] . √[x/(x+z)] ≤ 1/2 . [y/(z+y) + x/(x+z)] (3) 
Cộng vế của (1),(2) và (3) lại ta được: 
A ≤ 1/2 . 3 = 3/2 
Vậy Max A = 3/2 xảy ra <=> x = y = z = 1/√3 <=> a = b = c = √3

Answer 2

bạn trả lời lại bằng phần mềm của OLM đươc ko? Thế này hơi khó hiểu bạn ạ! Thanks

Answer 3

  Đặt x = 1/a ; y = 1/b, z = 1/c với x,y,z > 0 

đk <=> 1/x + 1/y + 1/z = 1/(xyz)

  <=> xy + yz + zx = 1  A = √[yz/(1+x²)] + √[zx/(1+y²)] + √[xy/(1+z²)]

  Ta có:  1 + x² = x² + xy + yz + zx = (x+z)(x+y)

  => √[yz/(1+x²)] = √[y/(x+y)]

. √[z/(x+z)]  ≤ 1/2 . [y/(x+y) + z/(x+z)] (1)

  (áp dụng bđt Cosi: √m .√n ≤ 1/2 . (m+n))

  Tương tự:  √[xz/(1+y²)] = √[x/(x+y)] . √[z/(y+z)] ≤ 1/2 . [x/(x+y) + z/(y+z)] (2)

  √[xy/(1+z²)] = √[y/(z+y)] . √[x/(x+z)] ≤ 1/2 . [y/(z+y) + x/(x+z)] (3)

  Cộng vế của (1),(2) và (3) lại ta được:  A ≤ 1/2 . 3 = 3/2

  Vậy Max A = 3/2 xảy ra <=> x = y = z = 1/√3 <=> a = b = c = √3