Question

\(choC=2+2^2+2^3+....+2^{99}+2^{100}\)

a)Chứng minh C chia hết cho 31

b)tìm x để \(2^{2x-1}-2=C\)

Answer 1

a)ta có :C=2+2^2+2^3+...+2^99+2^100

          C=2(1+2+2^2+2^3+2^4)+...+2^96(1+2+2^2+2^3+2^4)

           C=2.31+...+2^96.31

          C=31(2+...+2^96)

Vì 31 chia hết cho 31 nên suy ra 31(2+...+2^96) chia hết cho 31 hay C chia hết cho 31

Vậy C chia hết cho 31

b)Ta có:C=2+2^2+2^3+...+2^99+2^100

            2C=2(2+2^2+2^3+...+2^99+2^100)

            2C=2^2+2^3+2^4+...+2^100+2^101

            2C-C=(2^2+2^3+2^4+...+2^100+2^101)-(2+2^2+2^3+...+2^99+2^100)

            C=2^101-2

            Mà 2^(2x-1)-2=C

Suy ra 2^(2x-1)=2^101

          2x-1=101

          2x=101+1

          2x=102

          x=102:2

         x=51

Vậy x=51

Answer 2

a) C = 2 + 2² + 2³ + ..... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ ( có 100 số hạng )

C = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ...... + ( 2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 9⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

C = 2 ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ..... + 2⁹⁶ ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴  )

C = 2 . 31 + ..... + 2⁹⁶ . 31

C = 31 ( 2 + ..... + 2⁹⁶ )

vì 31 chia hết cho 31 => C chia hết cho 31

b) C = 2 + 2² + 2³ + ..... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

2C = 2² + 2³ + 2⁴ + ....... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

2C - C = 2² + 2³ + 2⁴ + ..... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹ - ( 2 + 2² + 2³ + ...... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

       C  = 2² + 2³ + 2⁴ + ....... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹ - 2 - 2² - 2³ - ..... -  2⁹⁹ - 2¹⁰⁰

       C  = 2¹⁰¹ - 2

=> 2x - 1 = 101 

=> 2x      = 101 + 1

=> 2x      = 102

=>   x      = 102 : 2

=>   x      = 51

chúc bạn học giỏi ^.~