Sorry mink ko biet lm bài này xin lỗi bn
Với X=Y=Z thì thấy thỏa mãn
Xét trường hợp X>Y>Z :
Với X>Y thì suy X+Y>Y+Y=2Ynên X+Y-Z>2Z-Z=Z
=>( X+Y-Z)^3>Z^3
Tượng tự ta có :
(Y+Z-X)^3>X^3và(Z+X-Y)^3>Y^3
Từ đó :
=> VT>VP nên vô lý
Vậy X=Y=Z
Ta có:
\(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\)
\(=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+y^3-3y^2z+3yz^2-z^3+z^3-3z^2x+3zx^2-x^3\)
\(=-3x^2y+3xy^2-3y^2z+3yz^2-3z^2x+3zx^2\)
\(=3\left(-x^2y+xy^2-y^2z+yz^2-z^2x+zx^2\right)\)
\(=3\left[-xy\left(x-y\right)+z\left(x^2-y^2\right)-z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=3\left[-xy\left(x-y\right)+z\left(x-y\right)\left(x+y\right)-z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=3\left(x-y\right)\left[-xy+z\left(x+y\right)-z^2\right]\)
\(=3\left(x-y\right)\left(-xy+xz+yz-z^2\right)\)
\(=3\left(x-y\right)\left[\left(-xy+xz\right)+\left(yz-z^2\right)\right]\)
\(=3\left(x-y\right)\left[-x\left(y-z\right)+z\left(y-z\right)\right]\)
\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
Ta lại có
\(x>y>z\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y>0\\y-z>0\\z-x< 0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3< 0\)( Điều phải chứng minh)
Vậy \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3< 0\)
P/S: Nộp thẻ đây, gửi qua đường tin nhắn nhoa!
