Question

Cho \(xyz=1\)

Chứng minh \(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge1\)

Phiền các bạn giải giúp mình bài này vs

Answer 1

Áp dụng bđt Cô si cho 3 số ta đc

\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{27}=}1\)

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1

p/s : quên cách làm khúc giữa

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta đc :

\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{1+2y^2x^2+2z^2x^2+2z^2y^2+4x^2+4z^2+4y^2+8}}\)( phân tích đa thức thành nhân tử )

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{2}{x^2}+4x^2+4z^2+4y^2}}\)( vì \(xyz=1\Rightarrow x^2y^2z^2=1\Rightarrow x^2y^2=\frac{1}{z^2}\)các phân số khác chứng minh tương tự )

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\)( quy đồng mẫu số  ) ( A )

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta được :

\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(2+4z^4\right)\left(2+4y^4\right)\left(2+4x^4\right)}{x^2y^2z^2}}\) ( 1 )

Ta có :

\(2+4x^4\ge2+4.1^4=6\) ( 2 ) 

\(2+4y^4\ge2+4.1^4=6\) ( vì x^4 , y^4 , z^4 đều là các lũy thừa số mũ chẵn ) ( 3 )

\(2+4z^4\ge2+4.1^4=6\)( 4 ) 

x^2 . y^2 . z^2 = ( xyz )^2 = 1^2 = 1 ( 5 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )  suy ra :

\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{6^3}{1}}=18\) ( B )

Thay B vào A ta đc  :

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+18}}=1\)

Answer 3

Kết hợp 2 câu trả lời nhé bn

Answer 4

ĐK:x;y;z>0 vì x=−1;y=−1;z=1 không thỏa mãn bất phương trình.
Ta có:\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y^2+2}{9}+\frac{x^2}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{x\left(y^2+2\right)x^2}{\left(y^2+2\right).9.3}}=x\)

Tương tự

\(\frac{y}{z^2+2}+\frac{z^2+2}{9}+\frac{y^2}{3}\ge y\)

\(\frac{z}{x^2+2}+\frac{x^2+2}{9}+\frac{z^2}{3}\ge z\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{x^2+y^2+z^2}{9}\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

mà \(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}+\frac{x^2+y^2+z^2}{9}+\frac{2}{3}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{3}+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{9}+\frac{2}{3}=2\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge1\)