Question

Cho x+y+z=1, 

x²+y²+z²=1 va xyz=1.

Cm: \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3\)

Ai giải được bài này là giỏi đấy

 

Answer 1

Với x²+y²+z²=1 ta có:

x+y+z=1=> (x+y+z)²=1

=> x²+y²+z²+2.(xy+yz+zx)=1

=> 1+2.(xy+yz+zx)=1

=> 2.(xy+yz+zx)=0 => xy+yz+zx=0

Ta luôn có nếu a+b+c=0 thì a³+b³+c³=3abc.

Áp dụng vào bài toán ta có xy+yz+zx=0 => (xy)³+(yz)³+(zx)³=3.(xyz)²

Với xyz=1 và (xy)³+(yz)³+(zx)³=3.(xyz)² ta có\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(xy\right)^3}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3.\left(xyz\right)^2}{xyz}=\frac{3}{xyz}=3\)

=> đpcm