Question

cho x+y+z=1 cm x^2+y^2+z^2>=1/3

Answer 1

Ta có bất đẳng thức phụ sau

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)  với mọi  \(x,\)  \(y,\)  \(z\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Vì  \(x+y+z=1\)  (theo giả thiết) nên từ  \(\left(\text{*}\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)  (đpcm)

Answer 2

troll nhau v