Đề cho x y z tự dưng nhảy sang a,b,c là sao :)))
x^5+y^5≥x^2.y^2(x+y)
x^5+y^5≥x^2.y^2(x+y)
ta có: x^5+y^5=(x+y)(x^4−x^3y+x^2y^2−x.y^3+y^4)=(x+y)((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2)x^5+y^5=(x+y)(x^4−x^3y+x^2y^2−xy^3+y^4)=(x+y)((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2). Vì (x−y)^2(x2−xy+y2)≥0(x−y)2(x^2−xy+y^2)≥0 nên ((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2)≥x^2y^2((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2 nên ta có đpcm.
trở lại bài toán:
aba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+caba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+c
Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.
x+y5≥x2.y2(x+y)x5+y5≥x2.y2(x+y)
thật vậy, ta có: x5+y5=(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)=(x+y)((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)x5+y5=(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)=(x+y)((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2). Vì (x−y)2(x2−xy+y2)≥0(x−y)2(x2−xy+y2)≥0 nên ((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2 nên ta có đpcm.
trở lại bài toán:
aba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+caba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+c
Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.
đây bạn:
Đặt A là cái biểu thức cần chứng minh
Ta chứng minh bđt sau:
\(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3\ge0\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
c/m tươn tự ta được:
\(b^5+c^5\ge b^2c^2\left(b+c\right),c^5+a^5\ge a^2c^2\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+a^2b^2c}+\frac{bc}{b^2c^2\left(b+c\right)+b^2c^2a}+\frac{ca}{c^2a^2\left(a+c\right)+c^2a^2b}\) (vì abc=1)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=1\)
đặt biểu thức là M
\(M>=\frac{ab}{3\sqrt[3]{a^5.b^5ab}}+\frac{bc}{3\sqrt[3]{b^5.c^5.bc}}+\frac{ac}{3\sqrt[3]{a^5.c^5.ac}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
(dựa vào côsi)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
