Question

Cho x;y;z>0 và x+y+z=xyz. Tìm giá trị lớn nhất của :

\(P=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : 

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

<=> \(xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

<=> \(x^3y^3z^3\ge27xyz\)

<=> \(x^2y^2z^2\ge27\)

<=> \(\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge3\)

Ta có 

\(P=\frac{1}{x^2+yz+yz}+\frac{1}{y^2+zx+zx}+\frac{1}{z^2+xy+xy}\le\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)

                                                                                                                  \(=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\le\frac{1}{3}\)

Vậy Max = 1/3