Question

Cho x;y;z>0 và x+y+z\(\le\frac{3}{2}\)Tìm GTNN của A=x+y+z+\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)

Answer 1

\(A=\left(x+y+z+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{4z}}+\frac{3}{4}\left(\frac{9}{x+y+z}\right)\)

\(\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2

Vậy min A = 15/2 tại x = y = z = 1/2

Answer 2

Lời giải của em ạ :D

\(A=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\)

Đặt \(t=x+y+z\le\frac{3}{2}\)

Khi đó \(A=t+\frac{9}{t}=\left(t+\frac{9}{4t}\right)+\frac{27}{4t}\ge3+\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₂