Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nakroth

Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm GTLN của \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)

Girl
14 tháng 5 2019 lúc 12:48

Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\\sqrt{y+xz}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\\sqrt{z+xy}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\end{cases}}\)

Ta viết lại A

\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(A\le\frac{x+y+x+z+x+y+y+z+y+z+x+z}{2}=2\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Trần Thị Hà Giang
14 tháng 5 2019 lúc 13:08

\(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz\)

\(=x^2+xy+xz+yz\)

\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

+ Tương tự : \(y+xz=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(z+xy=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

+ Theo bđt AM-GM : \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y=x+z\Leftrightarrow y=z\)

+ Tương tự ta cm đc : 

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+2y+z}{2}\).   Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=z\)

\(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+2z}{2}\).   Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Do đó : \(A\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\)

A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy Max A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bùi Vương TP (Hacker Nin...
14 tháng 5 2019 lúc 20:44

x+yz=x(x+y+z)+yz

=x2+xy+xz+yz

=x(x+y)+z(x+y)=(x+z)(x+y)

+ Tương tự : y+xz=(x+y)(y+z)

z+xy=(x+z)(y+z)

+ Theo bđt AM-GM : √(x+y)(x+z)≤x+y+x+z2 

⇒√(x−1)(y−1)≤2x+y+z2 

Dấu "=" xảy ra ⇔x+y=x+z⇔y=z

+ Tương tự ta cm đc : 

√(x+y)(y+z)≤x+2y+z2 .   Dấu "=" xảy ra ⇔x=z

√(x+z)(y+z)≤x+y+2z2 .   Dấu "=" xảy ra ⇔x=y

Do đó : A≤4(x+y+z)2 =2

A = 2 ⇔x=y=z=13 

Vậy Max A = 2 


Các câu hỏi tương tự
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Bảo Khanh Đàm
Xem chi tiết
Minh Đức
Xem chi tiết
Cao Nguyễn Thành Hoàng
Xem chi tiết
Uyên Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Bá Minh
Xem chi tiết
Trúc Mai Huỳnh
Xem chi tiết
Lê Thị Hải Anh
Xem chi tiết
Nguyen Duy Dai
Xem chi tiết