Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Triều

Cho x,y,z>0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

Trần Thị Loan
3 tháng 6 2015 lúc 18:27

Đặt a = y + z; b = z+ x; c = x+ y (a;b;c > 0)

=> x+ y + z = (a+b+c)/2

=> x= (a+b+c)/2 - a = (b+c- a)/2

     y = (a+b+c)/2 - b = (a+c-b)/2; z = (a+b - c)/ 2

Khi đó \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1\right)\)

=> \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\left(\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-3\right)\right)\)

AD BĐT Cô - si có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

=> \(P\ge\frac{1}{2}.\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)=> Min P = 3/2

Dấu "=" khi a = b = c<=> x = y = z

zZz Cool Kid_new zZz
2 tháng 5 2020 lúc 22:40

Áp dụng Cauchy - Schwarz và AM-GM :

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

\(=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Minh Triều
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết
๖ۣۜmạnͥh2ͣkͫ5ツ
Xem chi tiết
Trịnh Hoàng Đông Giang
Xem chi tiết
Bach Mai Phuong
Xem chi tiết
Hatsune Miku
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Trang
Xem chi tiết
hung
Xem chi tiết
Uzumaki Naruto
Xem chi tiết