Question

Cho \(x,y,z>0.\) Thỏa mãn: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

  Tính Giá trị của biểu thức:

\(A=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)

Answer 1

Từ giả thiết \(4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\to4x+4\sqrt{xyz}+yz=16-4\left(y+z\right)+yz=\left(4-y\right)\left(4-z\right)\). Suy ra \(\left(4-y\right)\left(4-z\right)=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\to\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)=2x+\sqrt{xyz}\). 

Tương tự ta thiết lập hai đẳng thức nữa \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz},\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}.\)  

Cộng lại ta được

\(A=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2\times4=8.\) 

Vậy \(A=8.\)