\(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
Đpcm \(\Leftrightarrow9-2\left(xy+yz+zx\right)\le11\)\(\Leftrightarrow xy+yz+zx+1\ge0\Leftrightarrow z\left(x+y\right)+xy+1\ge0\text{ }\left(\text{*}\right)\)
Có 2 cách chứng minh như sau:
+Cách 1: Trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số cùng \(\ge1\) hoặc cùng \(\le1\)
Do đó: : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y=3-z\)
\(xy+yz+zx+1\ge z\left(3-z\right)+3-z=\left(3-z\right)\left(z+1\right)\ge0\)
+Cách 2: Do vai trò x, y, z là như nhau nên giả sử z là số lớn nhất; khi đó
\(3=x+y+z\le z+z+z\Rightarrow z\ge1\)
\(\left(x+1\right)\left(y+z\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge-x-y=z-3\)
\(xy+yz+zx+1\ge z\left(3-z\right)+z-3=\left(3-z\right)\left(z-1\right)\ge0\) do \(z\ge1\)
không có điều kiện ràng buộc 3 biến thì biểu thức kia dễ dàng vượt quá 11.
Đoạn 2 từ dưới lên sửa thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge0\Rightarrow.................\) nhé
