Bạn kia giải sai rồi!! xyz = yxz thì chắc gì x = y = z? Giải: Cộng các đẳng thức trên với nhau ta được: x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx ⇔2 x 2 + y 2 + z 2 = 2 xy + yz + zx ⇔ x 2 − 2xy + y 2 + y 2 − 2yz + z 2 + z 2 − 2xz + x 2 = 0 ⇔ x − y 2 + y − z 2 + z − x 2 = 0 Mà: x − y 2 ≥ 0 y − z 2 ≥ 0 z − x 2 ≥ 0 ⇒ x − y 2 + y − z 2 + z − x 2 ≥ 0 Do đó dấu "=" xảy ra khi ⇔x = y = z
Ta có: \(x^2=yz=>x.x=y.z=\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\left(1\right)\)
\(y^2=xz=>y.y=x.z=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\left(2\right)\)
\(z^2=xy=>z.z=x.y=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\left(3\right)\)
\(Từ\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)ta được: \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Với \(\frac{x}{y}=1=>x=y\left(4\right)\)
Với \(\frac{y}{z}=1=>y=z\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) suy ra: x = y = z
=> Đpcm
