Question

Cho x,y,z thỏa mãn : xy+yz+xz=1. Tìm GTNN của A= x^4+y^4+z^4

Answer 1

Ta có đẳng thức:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á

Answer 2

Ta có:

\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

Mặt khác:

\(\left(xy+yz+zx\right)^2=1\le3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}\le\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\)

Vậy \(Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)