Question

Cho x,y,z thỏa mãn x^2+y^2 chia hết cho 16. CMR a, xy chia hết cho 4, b,xy chia hết cho 16

Answer 1

Lời giải:
Vì $x^2+y^2$ chẵn nên $x,y$ có cùng tính chất chẵn lẻ

Nếu $x,y$ cùng lẻ. Đặt $x=2k+1, y=2m+1$ với $k,m$ nguyên 

Khi đó:

$x^2+y^2=(2k+1)^2+(2m+1)^2=4(k^2+m^2+k+m)+2$ không chia hết cho $4$

$\Rightarrow x^2+y^2$ không chia hết cho $16$ (trái giả thiết)

Do đó $x,y$ cùng chẵn 

Đặt $x=2k, y=2m$ với $k,m$ nguyên 

a. 

$xy=2k.2m=4km\vdots 4$ (đpcm)

b.

$x^2+y^2=(2k)^2+(2m)^2=4(k^2+m^2)\vdots 16$

$\Rightarrow k^2+m^2\vdots 4$

Tương tự lập luận ở trên, $k,m$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $k,m$ cùng lẻ thì $k^2+m^2$ không chia hết cho $4$ (vô lý) nên $k,m$ cùng chẵn.

Đặt $k=2k_1, m=2m_1$ với $k_1, m_1$ nguyên 

Khi đó:

$xy=2k.2m=4km=4.2k_1.2m_1=16k_1m_1\vdots 16$ (đpcm)