Ta có BĐT \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)
Tương tự cũng có 2 BĐT tương tự:
\(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
Và BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\left(2\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT (1) và (2) có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\cdot6=12\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Lớp 9 gì mà hs lớp 7 làm đc :)) ahaha
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+1\ge2z\)
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2zx\)
Cộng vế với vế ta được :
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge x+y+z+xy+xz+yz\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge6\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{6-3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(x^2+y^2+z^2\) có GTNN là 1 tại \(x=y=z=1\)
Nhầm \(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{2.6-3}{3}=3\)
áp dụng BĐT cô si ta có
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(z^2+x^2\ge2zx\)
cộng vế với vế ta có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=6-\left(x+y+z\right)\)(1)
mặt khác có
\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)=xy-x-y+1\)
\(\left(y-1\right)\left(z-1\right)=yz-y-z+1\)
\(\left(z-1\right)\left(x-1\right)=zx-z-x+1\)
cộng vế phải ta có
\(xy+yz+zx-2\left(x+y+z\right)-3\)mà\(xy+yz+zx=6\)
\(\Rightarrow6=-3\left(x+y+z\right)-3\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=-3\)(2) thay (2) vào (1) có
\(x^2+y^2+z^2\ge6-\left(-3\right)=9\)
vậy GTNN =9 khi x=y=z=-1
