Question

Cho x,y,z là các số thực dương, thỏa mãn \(x+y+z\le1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2

≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2 

=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2 

≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82

Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13