Question

cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\)

Tìm min của \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

P/S:bài này khá dễ,nhưng thánh nào làm cách ngắn nhất được ko,mình làm mà thầy cú chê dài

Answer 1

x^2+x+y^2+y+z^2+z<=18 suy ra (x+y+z)^2/3+x+y+z<=18

Đặt x+y+z=t thì t^2/3+t-18<=0 suy ra t^2+3t-54<=0>>>(t+9)(t-6)<=0>>>t-<=0>>>t<=6

P>=(1+1+1)^2/2x+2y+2z+3(BĐT Cauchuy-Swartch)=9/2(x+y+z)+3>=9/2.6+3=9/15=3/5

Dấu = khi x=y=z=2(tính dấu = của BĐT Cauchuy-Swartch nhé)

Answer 2

giống cách mình,mà đó là schwarts mà Hoàng Minh Hoàng