§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan Đình Trường

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)

Neet
22 tháng 6 2017 lúc 14:46

Áp dụng BĐT cauchy:

\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

\(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)

dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Trần Hoàng Việt
11 tháng 8 2018 lúc 20:19

cô si cho đễ hiểu đi bn , cần gì phải cauchy s,. làm gì cho mệt


Các câu hỏi tương tự
khoimzx
Xem chi tiết
Dương Nhật Hoàng
Xem chi tiết
Eren
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Ryan Park
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết