Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được
a+b\ge2\sqrt{ab}a+b≥2ab ; b+c\ge2\sqrt{bc}b+c≥2bc ; c+a\ge2\sqrt{ca}c+a≥2ca
Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.
áp dụng bđt cô si ta được
1+x ≥ 2x , 1+y ≥ 2y, 1+z ≥ 2z
Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được
\(8\sqrt{xyz}\)
Sử dụng giả thiết ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có
1+x>=2\(\sqrt{x}\), 1+y>=2\(\sqrt{y}\), 1+z>=2\(\sqrt{z}\)
Nhận theo ba bất đẳng thức này ta được :
(1+x)(1+y)(1+z)>=8\(\sqrt{xyz}\)
Sử dụng giả thiết xyz = 1 ta có đpcm . Đẳng thức xảy ra và chỉ khi x=y=z
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có
; ;
Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được
Sử dụng giả thiết ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
theo bất đẳng thức Cô sin Ta có 1+x ≥2\(\sqrt{x}\)
1+y ≥2\(\sqrt{y}\)
1+z ≥ 2\(\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow\) (1+x)(1+y)(1+z)≥8\(\sqrt{xyz}\)
Để (1+x)(1+y)(1+z)=8\(\sqrt{xyz}\) thì xyz = 1
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Ta có : \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
\(z+1\ge2\sqrt{z}\)
⇒\((x+1)(y+1)(z+1)\ge2\sqrt{x}\times2\sqrt{y}\times2\sqrt{z}=8\sqrt{xyz}=8\)( điều phải chứng minh)
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương 1 và x, ta có: \(1+x\ge2\sqrt{x}\)
Tương tự: \(1+y\ge2\sqrt{y};1+z\ge2\sqrt{z}\)
Nhân vế theo vế của các BĐT trên, ta được:
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}=8\sqrt{xyz}=8\) (vì xyz = 1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy với x, y, z là ba số dương có tích bằng 1 thì \(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge8\)
