Question

 

Cho x,y,z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x+y+z=0  và  -1\(\le\)x\(\le\)1     ;        -1\(\le\)y\(\le\)1       ;         -1\(\le\)z\(\le\)1      .    Chứng minh rằng đa thức x²+y⁴+z⁶ có giá trị  không lớn hơn 2

(Khó quá ai thông minh giúp mình làm bài này nha)

 

Answer 1

−1≤x≤1;−1≤y≤1;−1≤z≤1⇔x2;y2;z2≤1 (1)

Trong 3 số x;y;zcó ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là x;y) ta có: xy≥0⇒2xy≥0(2)

x2+y4+z6=x2+y2.y2+z2.z2.z2≤x2+y2+z2(3)

ta sẽ chứng minh:

x2+y2+z2≤2 ta có: 

x2+y2+z2≤x2+y2+z2+2xy(từ (2) )

⇒x2+y2+z2≤(x+y)2+z2=(−z)2+z2=2z2≤2(từ (1)  )

⇒x2+y4+z6≤2(đpcm)(từ (3) )

(kết luận)