Question

cho x,y,z là 3 số dương và x+y+z=1

chứng minh rằng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\)

Answer 1

bài này dễ .....mới là chuyện lạ

Answer 2

Théo bđt Cauchuy Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}\)

Answer 3

Áp dụng BĐT Svacxo , Ta có : 

\(VT=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=VP\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\end{cases}< =>x=y=z=\frac{1}{3}}\)