§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Baekhyun

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn : xyz=1

\(CMR:\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

Nguyễn Huy Tú
11 tháng 8 2017 lúc 20:30

Câu hỏi của Đức Huy ABC - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Nguyễn Quang Định
11 tháng 8 2017 lúc 20:31

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Ta có: xyz=1 và x,y,z >0

\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

TFBoys
11 tháng 8 2017 lúc 20:36

Ta có \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3.1=3\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+1}=\dfrac{y}{z+1}=\dfrac{z}{x+1}\\xyz=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Đức Huy ABC
Xem chi tiết
Nguyen Ha
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Hoàng Chi
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Học Chăm Chỉ
Xem chi tiết
Lê Lan Hương
Xem chi tiết