Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Thùy Dung

Cho x,y,z dương thỏa  \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}>=2\)

Tìm GTLN của P=xyz

 

 

Kudo Shinichi
6 tháng 10 2019 lúc 6:15

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\frac{1}{x+1}\ge1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) . Tương tự ta cũng có :

\(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}};\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên tra có :

\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8\sqrt{\frac{xyz}{\left(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

 Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!


Các câu hỏi tương tự
Trương Cao Phong
Xem chi tiết
doraemon
Xem chi tiết
hh hh
Xem chi tiết
Nguyễn Đặng Bảo Trâm
Xem chi tiết
Tuấn Anh Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Phan Nhật Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Nhật Linh
Xem chi tiết
Khôi 2k9
Xem chi tiết
Nguyen Duy Dai
Xem chi tiết